Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri

Misalkan $u = x^4+5$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = 4x^3~\text{d}x \\ \dfrac14\text{d}u & = x^3~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac14\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int x^3(x^4+5)^3~\text{d}x & = \int u^3 ~\dfrac14\text{d}u \\ & = \dfrac14 \int u^{3}~\text{d}u \\ &= \dfrac14 \cdot \dfrac{1}{3+1}u^{3+1} + C \\ & = \dfrac{1}{16}u^{4} + C \\ & = \dfrac{1}{16}(x^4+5)^4+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{16}(x^4+5)^4+C}$
(Jawaban D)

Misalkan $u = 2 + 4t^{-3} $ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & =-12t^{-4}~\text{d}t \\-\dfrac{1}{12}\text{d}u & = t^{-4}~\text{d}t \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $-\dfrac{1}{12}\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int 3t^{-4}(2+4t^{-3})^{-7}~\text{d}t \\ & = 3 \int (2+4t^{-3})^{-7}~t^{-4}\text{d}t \\ & = \cancel{3} \int u^{-7} \cdot \left(-\dfrac{1}{\cancelto{4}{12}}\right) \text{d}u \\ & =-\dfrac14 \int u^{-7}~\text{d}u \\ &=-\dfrac14 \cdot \dfrac{1}{-7+1}u^{-7+1} + C \\ & =- \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{-6} u^{-6} + C \\ & = \dfrac{1}{24}(2+4t^{-3})^{-6}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{24}(2+4t^{-3})^{-6}+C}$
(Jawaban D)

Misalkan $u = 4w^2-6w+7$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned}\text{d}u & = (8w-6)~\text{d}w =-2(3- 4w)~\text{d}w \\-\dfrac{1}{2}\text{d}u & = (3-4w)~\text{d}w \end{aligned}$$Substitusi $u$ dan $-\dfrac{1}{2}\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (3-4w)(4w^2-6w+7)^{10}~\text{d}w \\ & = \int u^{10} \cdot \left(-\dfrac12\right)\text{d}u \\ & =-\dfrac12 \int u^{10} \text{d}u \\ & =-\dfrac12 \cdot \dfrac{1}{10+1}u^{10+1} + C \\ & =-\dfrac{1}{22}u^{11} + C \\ & =-\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C}$
(Jawaban B)

Misalkan $u = 3x^2-2x + 7$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (6x- 2)~\text{d}x = 2(3x-1)~\text{d}x \\ \dfrac12\text{d}u & = (3x-1)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{3x-1}{(3x^2-2x+7)^7}~\text{d}x  & = \int \dfrac{1}{u^7}~\dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac12 \int u^{-7}~\text{d}u \\ &= \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{-7+1}u^{-7+1} + C \\ & =-\dfrac{1}{12}u^{-6} + C \\  & =-\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^6}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^6}+C}$
(Jawaban D)

Misalkan $u = 3x^2 + 2x-4$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (6x+2)~\text{d}x = 2(3x+1)~\text{d}x \\ \dfrac12\text{d}u & = (3x+1)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (3x+1)\sqrt{3x^2+2x-4}~\text{d}x \\ & = \int \sqrt{u}~\dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac12 \int u^{\frac12}~\text{d}u \\ &= \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{\frac12+1}u^{\frac12+1} + C \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot u^{\frac32} + C \\ & = \dfrac{1}{3}(3x^2+2x-4)^{\frac32} +C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac13(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C}$
(Jawaban B)

Misalkan $u = x^3+6x+1$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (3x^2+6)~\text{d}x = 3(x^2+2)~\text{d}x \\ \dfrac13\text{d}u & = (x^2+2)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac13\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (x^2+2)(x^3+6x+1)^{\frac12}~\text{d}x \\ & = \int u^{\frac12}~\dfrac13\text{d}u \\ & = \dfrac13 \int u^{\frac12}~\text{d}u \\ & = \dfrac13\cdot \dfrac{1}{\frac12+1}u^{\frac12+1} + C \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac23 \cdot u^{\frac32} + C \\ & = \dfrac{2}{9}(x^3+6x+1)^{\frac32} +C &&  (\text{Substitusi balik}) \\ & = \dfrac29(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac29(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C}$
(Jawaban A)

Misalkan $u = z^2-8z$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (2z-8)~\text{d}x = 2(z-4)~\text{d}z \\ \dfrac12\text{d}u & = (z-4)~\text{d}z \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle\int 5(z-4) \sqrt[3]{z^2-8z}~\text{d}z \\ & = 5 \int (z^2-8z)^{\frac13} \cdot (z-4)~\text{d}z \\ & = 5 \int u^{\frac13}~\dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac52 \int u^{\frac13}~\text{d}u \\ & = \dfrac52 \cdot \dfrac{1}{\frac13+1}u^{\frac13+1} + C \\ & = \dfrac52 \cdot \dfrac34 \cdot uu^{\frac13} + C \\  & = \dfrac{15}{8}(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{15}{8}(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C}$
(Jawaban A)

Misalkan $u = 4w^2+6w+1$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (8w+6)~\text{d}w = 2(4w + 3)~\text{d}w \\ \dfrac12\text{d}u & = (4w+3)~\text{d}w \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{4w+3}{4w^2+6w-1}~\text{d}w & = \int \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac12 \int u^{-1}~\text{d}u \\ &= \dfrac12 \ln |u| + C && (\ln = \text{logaritma natural}) \\ & = \dfrac{1}{2} \ln |4w^2+6w+1| + C && (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{2} \ln |4w^2+6w+1| + C}$
(Jawaban A)

Misalkan $u = 1+9x^2$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (18x)~\text{d}w = 6(3x)~\text{d}x \\ \dfrac16\text{d}u & = (3x)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac16\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{3x}{(1+9x^2)^4}~\text{d}x & = \int \dfrac{1}{u^4} \cdot \dfrac16\text{d}u \\ & = \dfrac16 \int u^{-4}~\text{d}u \\ &= \dfrac16 \cdot \dfrac{1}{-4+1}u^{-4 + 1} + C \\ & =-\dfrac{1}{18}u^{-3} + C \\ & =-\dfrac{1}{18}(1+9x^2)^{-3} + C&& (\text{Substitusi balik}) \\ & =-\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C}$
(Jawaban C)

Gunakan metode substitusi aljabar dalam menentukan hasil pengintegralannya.
Misalkan $u = x^2+1$ sehingga $\text{d}u = (2x)~\text{d}x$ yang ekuivalen dengan $\dfrac12\text{d}u = x~\text{d}x.$
Substitusikan $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 ax(x^2+1)^2~\text{d}x & = 14 \\ a \int_0^1 (x^2+1)^2 \cdot x~\text{d}x & = 14 \\ \dfrac12a \int_1^2 u^2~\text{d}u & = 14 && (\text{BB}: 0^2+1 = 1, \text{BA}: 1^2+1 = 2) \\ \dfrac12a\left[\dfrac13u^3\right]_1^2 \\ & = 14 \\ \dfrac12a\left[\dfrac13(2)^3- \dfrac13(1)^3\right] & = 14 \\ a\left(\dfrac83- \dfrac13\right) & = 28 \\ a \cdot \dfrac73 & = 28 \\ a & = \cancelto{4}{28} \times \dfrac{3}{\cancel{7}} = 12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a = 12}$
(Jawaban D)

Misalkan $u = x + 1$ sehingga $x = u-1.$ Pada bentuk $u = x +1,$ turunkan kedua ruas terhadap variabel $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}u}{\text{d}x} & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x+1) \\ \text{d}u & = \text{d}x \end{aligned}$$Selanjutnya adalah menentukan perubahan batas dari variabel $x$ ke variabel $u$ dengan menggunakan persamaan $u = x+1.$
Untuk batas bawah $x = 0,$ maka $u = 0+1=1.$
Untuk batas atas $x = 3,$ maka $u = 3+1=4.$
Dengan demikian, bentuk integral $\displaystyle \int_0^3 \dfrac{3x}{\sqrt{x+1}}~\text{d}x$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^4 \dfrac{3(u-1)}{u^{1/2}}\text{d}u & = 3 \int_1^4 \left(u^{1/2}-u^{-1/2}\right)\text{d}u \\ & = 3 \left[\dfrac23u^{3/2}-2u^{1/2}\right]_1^4 \\ & = 3\left[\left(\dfrac23(4)^{3/2}-2(4)^{1/2}\right)-\left(\dfrac23(1)^{3/2}-2(1)^{1/2}\right)\right] \\ & = 3\left[\left(\dfrac{16}{3}-4\right)-\left(\dfrac23-2\right)\right] \\ & = 3\left(\dfrac{14}{3}-2\right) \\ & = 14-6 \\ & = 8. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari integral tentu tersebut adalah $\boxed{8}$
(Jawaban C)

Kita akan menggunaan teknik substitusi untuk menentukan integralnya.
Misalkan $\color{blue}{u = \sqrt{x-2}}.$
Kuadratkan kedua ruas dan kita akan mendapatkan
$u^2 = x-2 \Leftrightarrow \color{red}{x = u^2+2}.$
Pada bentuk $u^2 = x-2$, turunkan kedua ruas terhadap variabel $x.$
$\begin{aligned} (2u)~\text{d}u & = (1-0)~\text{d}x \\ \color{green}{2u~\text{d}u} & = \color{green}{\text{d}x} \end{aligned}$
Selanjutnya adalah menentukan perubahan batas dari variabel $x$ ke variabel $u$ dengan menggunakan persamaan $u=\sqrt{x-2}.$
Untuk batas bawah $x = 2$, maka $u=\sqrt{2-2} = 0.$
Untuk batas atas $x = 3$, maka $u=\sqrt{3-2} = 1.$
Dengan demikian, bentuk integral $\displaystyle \int_2^3 x\sqrt{x-2}~\text{d}x$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_ 0^1 \color{red}{(u^2+2)}\color{blue}{(u)}\color{green}{(2u~\text{d}u)} & = 2 \int_0^1 u^2(u^2+2)~\text{d}u \\ & = 2 \int_0^1 (u^4+2u^2)~\text{d}u \\ & = 2\left[\dfrac15u^5+\dfrac23u^3\right]_0^1 \\ & = 2\left[\left(\dfrac15(1)^5+\dfrac23(1)^3\right)-(0+0)\right] \\ & = 2\left(\dfrac15+\dfrac23\right) \\ & = 2\left(\dfrac{3}{15}+\dfrac{10}{15}\right) = \dfrac{26}{15} \end{aligned}$$Jadi, hasil integral tentu tersebut adalah $\boxed{\dfrac{26}{15}}$
(Jawaban C)

Misalkan $u = 2+6x^3$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (18x^2)~\text{d}x \\ 5\text{d}u & = (90x^2)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $5\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int 90x^2 \sin (2+6x^3)~\text{d}x & = \int \sin u \cdot 5\text{d}u \\ & = 5 \int \sin u ~\text{d}u \\ &= 5(-\cos u) + C \\ & =-5 \cos (2+6x^3) + C && (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-5 \cos (2+6x^3) + C}$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & \displaystyle \int \sec (1-z) \tan (1-z)~\text{d}z \\ & = \int \dfrac{1}{\cos (1-z)} \cdot \dfrac{\sin (1-z)}{\cos (1-z)}~\text{d}z \\ & = \int \dfrac{\sin (1-z)}{\cos^2 (1-z)}~\text{d}z \end{aligned}$
Misalkan $u = \cos (1-z)$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (-\sin (1-z)(-1))~\text{d}z \\ & = \sin(1-z)~\text{d}z \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{\sin (1-z)}{\cos^2 (1-z)}~\text{d}z & = \int \dfrac{1}{u^2}~\text{d}u \\ & =-\dfrac{1}{u} + C \\ & = \dfrac{1}{\cos (1-z)} + C && (\text{Substitusi balik}) \\ & =-\sec(1-z) + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\sec (1-z) + C}$
(Jawaban D)

Misalkan $u = 6t^{-1}+t^2$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (-6t^{-2} + 2t)~\text{d}t \\ & =-2(3t^{-2}- t)~\text{d}t \\-\dfrac12\text{d}u & = (3t^{-2}- t)~\text{d}t \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $-\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (15t^{-2}- 5t) \cos (6t^{-1} + t^2)~\text{d}t \\ & = \int 5(3t^{-2}- t) \cos (6t^{-1} + t^2)~\text{d}t \\ & = 5 \int \cos u~\left(-\dfrac12\right)\text{d}u \\ & =-\dfrac52 \sin u + C \\ & =-\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C && (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C}$
(Jawaban D)

Misalkan $u = \sin (3t)-t^3$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (3 \cos (3t)- 3t^2)~\text{d}t \\ & = 3(\cos (3t)- t^2)~\text{d}t \\ \dfrac13\text{d}u & = (\cos (3t)- t^2)~\text{d}t \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac13\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned}&  \displaystyle \int (\cos (3t)- t^2)(\sin (3t)- t^3)^5~\text{d}t \\ & = \int u^5 \cdot \dfrac13\text{d}u \\ & = \dfrac13 \int u^5~\text{d}u \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac16u^6 + C \\ & = \dfrac{1}{18} (\sin (3t)- t^3)^6 + C &&(\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{18} (\sin (3t)- t^3)^6 + C}$
(Jawaban C)

Misalkan $u = 2- \csc x$ sehingga diperoleh $\text{d}u = (\csc x \cot x)~\text{d}x.$
Substitusi $u$ dan $\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{\csc (x) \cot (x)}{2- \csc x}~\text{d}x & = \int \dfrac{1}{u}~\text{d}u\\ & = \ln |u| + C \\ & = \ln |2-\csc x| + C &&(\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\ln |2- \csc x| + C}$
(Jawaban A)

Gunakan metode substitusi trigonometri dalam menentukan hasil pengintegralannya.
Misalkan $u = \sin 3x$ sehingga
$\text{d}u = 3 \cos 3x~\text{d}x$
yang ekuivalen dengan
$\dfrac13\text{d}u = \cos 3x~\text{d}x.$
Substitusikan $u$ dan $\dfrac13\text{d}u$ pada integran.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \sin 3x \cos 3x~\text{d}x & = \int_0^{1} u \cdot \dfrac13\text{d}u && (\sin 0 = 0; \sin \dfrac{\pi}{2} = 1) \\ & = \dfrac13 \int_0^{1} u~\text{d}u \\ & = \left[\dfrac13 \cdot \dfrac12u^2\right]_0^{1} \\ & = \dfrac16(1^2- 0^2) = \dfrac16 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari integral tentu tersebut adalah $\boxed{\dfrac16}$
(Jawaban C)